http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/ … について続き。難波完爾さんが書いたものがやたらに面白い。所謂Sato-Tate予想(＝sin^2予想)関係の数値計算をたくさんしている様子がわかる。思い出話が http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo16/16_8nanba.pdf … にある。

続き。昭和37年頃に数学が得意な連中がコンピューターを使えるようになったら何が起きたのかという話。壊れるまでコンピューターを酷使する。所謂Sato-Tate予想=sin^2予想はこのような雰囲気で発見されたのか！

続き。長いのでまだ読み終わらない。『佐藤幹夫の数学』に掲載されたのよりも数学史シンポジウムの http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo16/16_8nanba.pdf … の方がずっと面白い。これを発見できたのはとてもラッキーだった。

続き。一つ前のツイートで紹介した難波完爾さんによる超楕円曲線版の拡張されたsin^2予想なのですが、予想の数値的再検証をやった人はいるのでしょうかね？コンピューターが得意なアマチュア数学者が手を出し易い話題でもあると思う。問題は数論の素養がないと何が面白いのかわからないことかも。

続きメモ。http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo17/17_8nanba.pdf …難波完爾　種数2の楕円曲線とsin2予想

メモ続きhttp://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo18/18_15nanba.pdf …http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo19/19_16nanba.pdf …http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo20/20_16nanba.pdf …http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo21/21_7nanba.pdf …

#掛算 #数学 ラングランズ・プログラムの進展によってどのように不思議な数学的結果が証明されるかについてはSato-Tate予想＝佐藤sin^2予想について調べるとよい。佐藤幹夫さんのもとで計算機で計算したのが難波完爾さん。 http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo16/16_8nanba.pdf …

@genkuroki #数学 終わりましたね。フレンケルさんが例として使ったy^2+y=x^3-x^2は楕円曲線の方程式です。それに対応するモジュラー形式はη(q)^2 η(q^{11})^2 でした。他の例については→https://twitter.com/genkuroki/status/667513513573675009 …

@genkuroki #数学https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/msj200903_slide …伊藤哲史、佐藤・テイト予想の解決と展望、2006ラングランズプログラムに興味を持った人はSato-Tate予想=佐藤sin^2予想についてもググると楽しめると思います。今世紀の成果。

#数学 Edward Frenkel on Eichler's reciprocity lawhttp://m759.net/wordpress/?p=39889 …フレンケルさんが例として使った y^2+y=x^3-x^2 と (η(q)η(q^{11}))^2 のあいだの有名な対応に関する覚書

#数学 E.フレンケルさんが数学ミステリー白熱教室の第3回で説明用に使った「y^2+y=x^3-x^2」は各種解説で本当によく使われている楕円曲線の例で、数学を少し勉強したことがある人にとっては「いつものあれ」という感じのものです。

#数学 コンピューターに慣れている人であれば、フレンケルさんが紹介していた神秘的な結果を自分で計算して確認できると思います。(1)各素数pについて、y^2+y=x^3-x^2の両辺をpで割った余りが等しくなるようなx,y=0,1,..,p-1の組全体の個数S(p)を求める。続く

#数学 続き(2) q×((1-q)^2(1-q^2)^2(1-q^3)^2…)×((1-q^{11})^2(1-q^{22})^2(1-q^{33})^3…)を展開して q^n の係数 a_n を求める。(3) p-S(p)=a_p となることを確認する。続く

#数学 続き。楕円曲線 y^2+y=x^3-x^2 について以上の結果はアイヒラーさんが1954年に証明し、志村五郎さんによって一般化されました。 http://projecteuclid.org/euclid.jmsj/1261153636 …

#数学 続き。Dedekindのeta函数がη(q)=q^{1/24}(1-q)(1-q^2)(1-q^3)…によって定義されます(|q|<1)。この函数を使えばフレンケルさんの話に出て来た函数は f(q)=(η(q)η(q^{11})^2 と書けます。

#数学 続き。その f(q) は q=exp(2πiτ) (τは複素上半平面の点)とおくとき、ad-bc=1を満たす整数a.b,c,dによるτ→(aτ+b)/(cτ+d) という一次分数変換である因子倍を除いて変わらないという特別な性質を持っています。続く

#数学 続き。その事実を「f(q) は保型形式(モジュラー形式)である」といいます。一次分数変換に関する変換は「離散群 PSL(2,Z) の作用」と呼ばれています。続く

#数学 続き。複素上半平面上への離散群SL(2,Z)の作用の様子を、複素上半平面を単位円盤上に一対一に写して理解するためのゲームが http://tsujimotter.info/works/fundamental-domain/disk.html … にあります。(SLとPSLの違いは気にする必要がない) 続く

#数学 続き。一方、各素数pごとにpで割った余りの世界で楕円曲線の点の個数を数える話は、任意の整数xが「x^pとxをpで割った余りは等しい」という対称性を持っている話と関係があります。続く

#数学 「ad-bc=1をみたす整数a,b,c,dによる一次分数変換の対称性」(PSL(2,Z)作用)と「p乗してもpで割った余りは不変であるという対称性」(フロベニウス作用)は全然別の世界に住む対称性だという点が、数学の世界がどれだけ神秘的であるかを理解するためには重要です。

#数学 PSL(2,Z)作用は実はもっと巨大な対称性(代数群のアデール)の一部分だとみなせ、フロベニウス作用はガロア群サイドの対称性だとみなせます。これらの全然違う世界が実はある意味で同じになっているのではないかということが20世紀のあいだにわかって来たのです。

#数学 そして、そういう神秘的な関係に、楕円曲線y^2+y=x^3-x^2の素数位数の有限体上での点の数(ガロアワールドの住人)と保型形式f(q)=(η(q)η(q^{11})^2の展開の係数(保型ワールドの住人)を実際に自分で計算して比較すれば誰でも触れることができるわけ。

#数学 続き。その予想は現在では、ガロアワールドと保型ワールドのあいだの関係に関する巨大な予想集に発展しています。これが所謂「ラングランズ・プログラム」の話です。続く

#数学 続き。そういう一般人にとって内容の詳細がさっぱりわからない「単なるお話」ではなく、自力で計算することによって、数学の世界のさらなる深みを確認できる話があります。それはSato-Tate予想＝佐藤sin^2予想。佐藤幹夫さんは計算機でたくさん計算して予想を立てました。続く

#数学 続き。特別に数学の訓練を受けていない人であっても、佐藤sin^2予想を打ち立てるために実行されたコンピューターによる計算を自力で再現できます。計算法は http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo16/16_8nanba.pdf … で難波完爾さんが詳しく説明しています。続く

#数学 (η(q)η(q^{11}))^2には楕円曲線y^2+y=x^3-x^2が対応していた。 http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo16/16_8nanba.pdf … によれば(η(q)η(q^5))^2にはy^2=x(x^2+x+1)が対応するらしいのでそちらも確認してみると面白いと思います。

#数学 注意：以上の話はわざと細かいところを雑に説明している部分があるので注意すること。

#数学 フレンケルさんが例に使ったのと同じ楕円曲線y^2+y=x^3-x^2を例に用いたSato-Tate予想に関する解説が、黒川信重「佐藤-テイト予想の歴史」数学のたのしみ2008最終号pp.23-34にあります。 http://www.amazon.co.jp/dp/4535603235 

#数学 Sato-Tate予想について例で説明します。素数位数pの有限体をF_pと書きます。フレンケルさんは楕円曲線の方程式y^2+y=x^3-x^2のF_pでの解(x,y)全体の個数をS(p)と書いていました。各素数pごとにS(p)をコンピューターで求めることができます。続く

#数学 続き。おおざっぱには、楕円曲線の方程式y^2+y=x^3-x^2のF_pでの解全体の個数は「p個±誤差」になっていると考えられます。なぜならば、F_pの元の組(x,y)全体の個数はp^2個あり、方程式が1本あるので点の個数は大体1/pに減るはずだからだ。続く

#数学 続き。実際には方程式が非線形で複雑なので、ぴったり1/pにはならず、期待値からのずれが生じる。だからa_pの絶対値は|a_p|=|p-S(p)|=(予想される解の個数の期待値と実際の解の個数の違い)=(期待値からのずれ)と解釈されます。続く

#数学 続き。解の個数の期待値からのずれ|a_p|はハッセによって |a_p|<2√p を満たすことが知られています。期待値からのずれに平方根が出て来ることはギャンブル(統計学)をやっている人にはお馴染みの現象なのですが、ヴェイユさんがどこかでそういうことを言っていたと思う。続く

#数学 続き。不等式 |a_p|<2√p は後にヴェイユさんによって一般化され、有限体上の任意の多様体でも同様のことが成立していると予想されました。これは有名なリーマン予想の有限体上の多様体バージョンになっています。続く

#数学 続き。a_p の分布については不等式 |a_p|<2√p 以上のことが知られています。それが次のSato-Tate sin^2予想です：a_p=2√p cos θ (0<θ<π)と書くとき、素数pの個数を増やすときθの分布関数は(sin θ)^2の定数倍に収束する。

#数学 続き。ただし、楕円曲線が特別な対称性を持たない(虚数乗法を持たない)と仮定しておかなければいけません(その仮定が成立しない楕円曲線は例外的)。楕円曲線の有限体F_pでの点の個数の期待値からのずれの分布函数が分かるというのは実は数学的に極めて深い結果。続く

#数学 続き。もしかしたら、コンピューターが得意なアマチュア数学者が新しくて深い数論的予想を発見するというようなことがこれからあるかもしれませんね。数学に詳しい人が増えれば、コンピューターが身近になっているのできっとそういうことが起こると思う。

#数学 E.フレンケルさんの数学ミステリー白熱教室関連の私のツイートは http://twilog.org/genkuroki/hashtags-数学 … でまとめて読めます。

#数学 http://twilog.org/genkuroki/hashtags-数学 …自分の手を動かしたり、コンピューターをぶんまわしたりして、自力で遊べるE.フレンケルさんの数学ミステリー白熱教室関連の話題を集めたつもり。数学は話を聞くだけだと本当の所はよくわからず、何かを自分でやってみた方が楽しいと思う。

#掛算 続き。言い忘れていましたが、佐藤・テイト予想もラングランズ哲学の範疇で証明されました。ラングランズ哲学的に佐藤・テイト予想はフェルマー予想よりも一段深い場所に位置付けられ、そこまで数学は進んだということです。続く

#掛算 続き。y^2+y=x^3-x^2のような「いつものあれ」を使えば、リーマン予想の有限体上での類似、佐藤・テイト予想、楕円曲線と保型形式の対応などなどに関する数値計算を誰でもできますね(コンピューターを使わないと大変だろうけど)。そういうブログ記事が現れると信じたい。続く

#数学 あ、しまった。また間違って #掛算 タグを付けてしまいました。書き直さずにこのままにしておきます。タグの検索で読んでいる人は適当にreply-to連鎖をたどれば全部読めます。

#数学 「数学ミステリー白熱教室」をGoogleで動画検索https://www.google.co.jp/search?q=�%95�学ミステリー白熱教室&tbm=vid …反応を検索してチェックすると、講師のエドワード・フレンケルさんが大人気ですね。わからなくても面白いという反応も多い！

#数学 ラングランズ・プログラムと理論物理の数学との関係の探求はE.フレンケルさんのガチ専門そのものなので、今まで以上に熱のこもった講義になることが期待されます。放送が終った第1～3回目を見逃した人であっても来週金曜日12/4の午後11時からの放送はチェックした方がいいかも。

#数学 E.フレンケルさんの数学ミステリー白熱教室の第1～3回の詳しい紹介を http://sci.tea-nifty.com/blog/2015/11/nhk-1127-41d4.html … に見付けた。内容を知りたい人は以下の検索も参照https://www.google.co.jp/search?q=�%95�学ミステリー白熱教室　第3回+15+11+27+動画 …https://www.youtube.com/results?search_query=数学ミステリー白熱教室 …

@genkuroki #数学 ラングランズ・プログラムのGL_1の場合(すなわち類対論)の話をしようと思ったのだが、大変そうなのでその一部分である平方剰余の相互法則の話をしようと思ったのだが、さらに話を簡単にして素数分の1の小数展開の話をする。続く

@genkuroki #数学 用意して欲しいのは、必要な精度で小数を計算してくれるソフトです。たとえばMaximaは無料で使える数式処理ソフトで結構便利です。以下の作業を実際にやってみた人は算数レベルの計算で数の世界で不思議な現象が起こっていることを確認できます。続く

@genkuroki #数学1. まず素数表を用意します2. 次に7以上の素数pに対して1/pの小数展開を小数点以下第p桁目より少し先まで計算して表にします。3. すべて循環小数になり、循環節の長さはp-1の約数になっていることもわかる。(フェルマーの小定理の応用)続く

@genkuroki #数学4. 循環節の長さが偶数のとき、その前半と後半を足すと999…9になる。たとえば、1/7の循環節は142857で142+857=999となる。1/11の循環節は09で0+9=9となる。1/13の循環節は076923で076+923=999となる。

@genkuroki #数学5. 1/pの小数点以下第(p-1)/2+1桁目の数字をマルで囲む。6. p=7を除いてマルで囲まれた数字は0または9のどちらかになる。7. マルで囲んだ数字が0と9のどちらになるかはpを40で割った余りで決まることが確かめられる。続く

@genkuroki #数学 平方剰余の相互法則というとてもキュートな数論の結果から7の結果が導かれます。マルで囲んだ数字が0になるのはpを40で割った余りが1,3,9,13,27,31,37,39のときで、9になるのは7,11,17,19,21,23,29,33のときです。

@genkuroki #数学 この話は以前オープンキャンパスでしました。問題のみ→ http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/OpenCampus2009-Problem.pdf …解答を含む→ http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/OpenCampus2009.pdf …

@genkuroki #数学 素数pに対する1/pの小数展開という算数レベルの話の中に平方剰余の相互法則というキュートな結果がびょこっぴょこっとかわいく顔を出している感じです。

@genkuroki #数学 平方剰余の相互法則は類対論に一般化され、類対論の非可換な場合への一般化がラングランズ・プログラムです。数論の話の良いところは算数レベルの話の中にも深い数学に繋がる現象が垣間見えていることを、誰でもたくさん計算すれば確かめられることです。

#数学 今週の金曜日に放送のE.フレンケルさんの授業はラングランズ・プログラムと理論物理の数学の関係の話になるはずなのですが、一体どうするつもりなのかとても楽しみです。今までの話題は算数からせいぜい高校1年生レベルの数学を知っていれば計算を楽しめる話でした。続く

#数学 続き。数論の話題は深い話題であっても、現象として見えている部分の解説の多くは算数の範囲内で処理できる計算ですむものがものすごく多い。実際には高校1年生レベルの数学は必要でしょうが、せいぜいそのレベルの数学を知っているだけで「何が起こっているか」を直接見ることができる。続く

#数学 続き。それに対して理論物理の場の理論の数学だと「何を見せるか」が大問題になると思う。今週の金曜日の午後11時から放送されるフレンケルさんの数学ミステリー白熱教室の第4回目(最終回)が楽しみです。毎回独立に見れも面白い話になっているのでこの回だけでも見る価値があります。続く

#数学 続き。第3回目のフレンケルさんの話には出て来なかった話題なのですが、物理サイドではなく、数論サイドでのラングランズ・プログラムの進展に興味がある人は、フェルマー予想や谷山・志村・ヴェイユ予想だけではなく、佐藤・テイト予想(sin^2予想)についも調べた方がよいと思う。続く

#数学 続き。その理由は2つ。1つ目は谷山・志村・ヴェイユ予想の解決のためにワイルズさんとテイラーさんによって開発された方法がそのまま佐藤・テイト予想の解決でも使われているという21世紀の数学の発展の流れに沿っていること。2つ目は佐藤・テイト予想も数値計算で遊べることです。続く

#数学 続き。フレンケルさんが数学ミステリー白熱教室第3回目で使った「いつもあれ」である楕円曲線y^2+y=x^3-x^2はそのまま佐藤・テイト予想の解説でも使えます。フレンケルさんの講義を聴いていれば誰でも佐藤・テイト予想の数値的確認で遊べます。続く

#数学 続き。『数学のたのしみ2008最終号』は http://www.amazon.co.jp/dp/4535603235  でまだ購入できます。フレンケルさんの授業の第3回目を視聴して、さらにその先にあるものを見てみたいと思った人にはおすすめ。続く

#数学 続き。「証明」となると滅茶苦茶大変過ぎるのですが、y^2+y=x^3-x^2のような「いつものあれ」な例について様々な数値を計算して数学の世界で何が起こっているかを見て確認することであれば、算数レベルの計算をコンピューターで実行すれば誰にでも可能です。つ

#数学 続き。私による佐藤・テイト予想の解説連ツイは→ https://twitter.com/genkuroki/status/670508446849060864 …佐藤幹夫さんが計算機による計算から予想を発見した経緯については計算を実行した難波完爾さんの解説が次の場所にあります→ http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo16/16_8nanba.pdf …

#数学 難波さんの http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo16/16_8nanba.pdf … を見れば帰納的に数学の世界を調べるという数学研究のナマの様子がわかります。複素根のプロットのためにアルバイトで佐藤幹夫先生に雇われた2人の学生は数学史に名を残すチャンスを逃している(pp.102-103)。続く

#数学 続き。もしもバイトの学生2人が複素根のプロット作業を最後までやり遂げてさらにそれがどのような分布になっているかを見抜いて「佐藤先生！すべてがsin^2分布になっています！」と報告していたら、現在、佐藤・テイト予想と呼ばれている予想が別の名前になっていたかもしれない。続く

#数学 続き。難波完爾さんによる計算の貢献がどのくらいであったかについては http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo16/16_8nanba.pdf … を見ればわかります。そこには佐藤幹夫さんから「難波完二」さん宛の手紙の画像も載っています(p.114)。名前間違っているし。これがナマの数学史。

#数学 続き。昔の人達の「コンピューターへの飢え」は最近の人達には想像できないと思う。コンピューターは人類が開発した最高のおもちゃの一つなのですが、昔はそのおもちゃを使い放題の立場に立つこと自体が大変だった。その世代の人達は年寄になっても飢えた感覚を忘れていないように見える。

#数学 佐藤・テイト予想に現われる0≦θ≦πでの確率分布 (2/π) (sin θ)^2 dθ は3次元球面x^2+y^2+u^2+v^2=1で x=cos θ とおいたときにθをdθだけ微小に動かしたときに得られる面積(を球面全体の面積で割った値)です(図を描け！)。続く

#数学 3次元球面x^2+y^2+u^2+v^2=1の点に対して、z=x+iy,w=u+ivとおき(1,1),(2,1),(1,2),(2,2)成分をそれぞれz,w,-(wの複素共役),(zの複素共役)と定めてできる2×2の複素行列全体の集合はSU(2)という名の群になります。

#数学 これによって群SU(2)は3次元球面と同一視できます。3次元球面x^2+y^2+u^2+v^2=1(x,y,u,vは実数)の「3次元」は「表面が3次元」という意味で、中身も考えたx^2+y^2+u^2+v^2≦1は4次元の物体になります。だから想像にし難い。続く

#数学 3次元の球体x^2+y^2+u^2≦1の表面が2次元の球面になるのと同じように、4次元の球体x^2+y^2+u^2+v^2≦1の表面が3次元の球面になると考えてよいです。3次元球面は我々が日常生活でよく見る2次元球面と違って自然に群になっているとみなせる所がすごい。

#数学 3次元球面の群SU(2)は実は実3次元空間の回転群SO(3)をさらに深くとらえたものであることが分かっています。電子のスピンは通常の3次元空間の回転群SO(3)では記述できず、SU(2)を使わないと理解できない。通常の3次元空間の回転を表現するためにもSU(2)は便利。

#数学 3次元球面の群SU(2)はハミルトンの四元数を用いた実現も持ちます。3次元球面上の点に対応する四元数x+iy+ju+kv全体の集合を考えても同一の群が得られます。3次元空間の回転を扱っている文献の多くで3次元球面の群が使われています。SU(2)に関する数学的教養は大事。

#数学 1次元の円周x^2+y^2=1上の点に対応する複素数z=x+iyの掛算が複素平面の回転になっていることは高校で習います。3次元球面の点に対応する複素2×2行列(または四元数)によって3次元空間の回転を記述できることはその拡張になっているともみなせます。

#数学 3次元の回転の記述は、ゲームプログラミングで基本的なだけではなく、人工衛星の制御などにも必要なことです。本屋で立ち読みした人工衛星の本では本質的に3次元球面の群SU(2)が使われていました。そういう群の話が佐藤・テイト予想のsin^2分布の起源になっているわけ。

#数学 sin^2分布は群SU(2)の立場では、3次元球面の面積としてSU(2)上に自然に入る測度から誘導されるSU(2)の共役類全体の集合に入る測度だと解釈されます。ｋ

#数学 ある仕組みで各素数pごとに群SU(2)の共役類C_pが決まる仕組みがあって、C_p達の分布の仕方が3次元球面上への引き戻しで見たときの一様分布に対応していれば、自然にsin^2分布が出て来るわけです。